Question

2．如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，点B在x轴的负半轴上，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第二象限内的图象经过点A，与BC交于点F，若△AOF的面积为20，则该反比例函数的表达式为y=$\frac{24}{x}$．

Answer 1

分析 过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出结论．

解答 解：过点A作AM⊥x轴于点M，连接OF，如图所示．
设OA=a，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，
∴AM=OA•sin∠AOB=$\frac{4}{5}$a，
∴点A的坐标为（$\frac{3}{5}$a，$\frac{4}{5}$a）．
∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，
∴S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_菱形OBCA=$\frac{1}{2}$OB•AM=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{4}{5}$a=20，
解得a²=50，
∴k=$\frac{3}{5}$a×$\frac{4}{5}$a=$\frac{12}{25}$×50=24，
则该反比例函数的表达式为y=$\frac{24}{x}$．
故答案是：y=$\frac{24}{x}$．

点评 本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_菱形OBCA．