Question

17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的菱形，且∠AOC=60°．
（1）求经过O，A，C三点的抛物线的表达式．
（2）记（1）中抛物线为L，若将菱形OABC绕点O旋转60°，得到新的菱形OA′B′C′，记经过点A′，B′，C′三点的抛物线为L′，L′可由L平移得到吗？若可以，请写出平移方式：若不可以，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出点C的坐标利用待定系数法求出抛物线L的解析式；
（2）先将菱形旋转后确定出点A'，B'，C，利用待定系数法确定出抛物线L'的解析式，即可．

解答 解：（1）如图1，∵四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=AB=2，
∴A（2，0）
过点C作CD⊥OA于D，
在Rt△OCD中，∠AOC=60°，OC=2，
∴OD=1，CD=$\sqrt{3}$，
∴C（1，$\sqrt{3}$，），
设过点O，A，C的抛物线为L的解析式为y=a（x-2），
∴$\sqrt{3}$=a（1-2），
∴a=-$\sqrt{3}$，
∴抛物线L的解析式为y=-$\sqrt{3}$x（x-2）=-$\sqrt{3}$（x-1）²+$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x

（2）可以，理由：如图2，
将菱形OABC绕点O旋转60°，得到新的菱形OA′B′C′，
∴点C'和点A重合，
∴C'（2，0），
易知，A'（1，-$\sqrt{3}$），B'（3，-$\sqrt{3}$），
设过点A'，B'，C'的抛物线L'的解析式为y=a'x²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a'+b+c=-\sqrt{3}}\\{9a'+3b+c=-\sqrt{3}}\\{4a'+2b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a'=-\sqrt{3}}\\{b=4\sqrt{3}}\\{c=-4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴过点A'，B'，C'的抛物线L'的解析式为y=-$\sqrt{3}$x²+4$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$（x-2）²，
∵抛物线L和L'的二次系数一样，都是-$\sqrt{3}$，
∴抛物线L'是抛物线L向下平移$\sqrt{3}$单位，再向右平移1个单位．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，旋转的性质，平移的性质，解（1）的关键是确定出点C的坐标，解（2）的关键是确定出过点A'，B'，C'的抛物线的解析式．