Question

2．如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．
（1）∠ABC=45°．
（2）依题中条件尺规作图补全图形．（不写作法，但保留作图痕迹）
（3）求∠CBD的角度．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（2）作线段AC的垂直平分线MN，以B为圆心BA为半径画弧交MN于D，连接CD、AD、BD即可．
（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．只要证明BD=2DM，推出∠ABD=30°即可解决问题．

解答 解：（1）∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
故答案为45°．

（2）如图所示，点D即为所求．

（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．
∵∠DNA=∠NAM=∠DMA=90°，
∴四边形DNAM是矩形，
∴AN=DM，
∵DC=DA，DN⊥AC，
∴CN=AN=DN，
∵AC=AB=BD，
∴DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=15°．

点评 本题考查作图-复杂作图、等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住直角三角形中，如果斜边等于直角边的两倍，这条直角边所对的锐角为30°，属于中考常考题型．