Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S_△AOD：S_△ACD=1：3，则S_△AOD：S_△BOC=________；若S_△AOD=1，则梯形ABCD的面积为________．

Answer 1

1：4    9
分析：（1）由题意可知三角形AOD和三角形DOC中AO和CO边上的高相等，所以面积比等于对应边AO，CO的比值，进而求出AO：CO的值，又因为△AOD∽△BOC，利用两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求出S_△AOD：S_△BOC的值；
（2）有（1）可知△DOC，△BOC，△DOC的面积，因为△AOB的面积等于△DOC的面积，进而求出梯形ABCD的面积．
解答：（1）∵△AOD和△DOC中AO和CO边上的高相等，S_△AOD：S_△ACD=1：3，
∴，
∵AD∥BC，
∴△ADO∽△CBO，
∴，
∴S_△AOD：S_△BOC=1：4，
（2）∵S_△AOD：S_△ACD=1：3，
∴AO：OC=1：2，
∴S_△AOD：S_△BOC=1：4；若S_△AOD=1，
则S_△ACD=3，S_△BOC=4，
∵AD∥BC，
∴S_△ABC=S△_BDC，
∵S_△AOB=S_△ABC-S_△BOC，S_△DOC=S_△BDC-S_△BOC，
∴S_△AOB=S_△DOC=2，
∴梯形ABCD的面积=1+4+2+2=9．
故答案为：1：4；9．
点评：本题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和相似三角形的性质．两平行线间三角形的性质，以及高相等的三角形面积比可以转化为其对应高边上的底之比和同底等高的两个三角形的面积相等．