Question

如图，直线y=

3

x向右平移a个单位后得到直线l，l与函数y=

k

x

（x＞0）相交于点A，与x轴相交于点B，且OB=AB，若OA²-OB²=8，则k=

 

．

Answer 1

分析：过A作AC垂直于x轴交x轴于C，因为直线l是由y=

3

x平移得到的，所以直线l与x轴的夹角∠ABC=60°，由OB=BA得到∠AOB与∠OAB相等都等于30°，且∠BAC=30°，设出AC的长，表示出OA和OB，代入已知的OA²-OB²=8中，即可求出AC和OC的长确定出点A的坐标，把求出的A的坐标代入到反比例解析式y=

k

x

中，即可求出k的值．

解答：解：如图，过A作AC垂直于x轴交x轴于C，
由直线l是直线y=

3

x平移得到的，所以tan∠ABC=

3

，即∠ABC=60°，
又OB=AB，所以∠AOB=∠OAB=30°，
设AC=m，则OA=2m，根据勾股定理得到OC=

3

m，
又△ABC为直角三角形，∠BAC=30°，
则tan30°=

BC

AC

，即BC=

3

3

m，
所以OB=OC-BC=

3

m-

3

3

m=

2 3

3

m，
又∵OA²-OB²=8，即4m²-(

2 3

3

)2m²=8，
解得：m=

3

，
则OC=3，AC=

3

，即点A坐标为（3，

3

），
把A坐标代入y=

k

x

中，得到k=3

3

．
故答案为：3

3

．

点评：此题考查30°角的直角三角形的性质，勾股定理以及待定系数法求反比例解析式．解本题的关键是平移前后的两直线平行，得到两直线与x轴所夹的锐角相等，求出∠ABC的度数．