Question

顶点在B点的抛物线y=ax²+bx+c交x轴于点A（3，0），D（-1，0），交y轴于点E（0，3），连接AB、AE、BE．
（1）已知tan∠BAE=

1

3

，求抛物线的表达式及顶点B的坐标．
（2）若点P在x轴上，且以O、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，求出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）如图1，设抛物线的解析式为y=a（x-3）（x+1），由E（0，3）在抛物线上，代入解析式就可以求出结论，再将解析式化为顶点式就可以求出B的坐标．
（2）根据A、E、B的坐标，由两点间的距离公式及勾股定理的逆定理就可以求出△ABE为直角三角形，如图2，当△AEB∽△POE时，如图3，当△AEB∽△POE时，如图4，当△AEB∽△EOP时，如图5，当△AEB∽△EOP时，由相似三角形的性质分别其求出其值即可．

解答：解：（1）如图1，

设抛物线的解析式为y=a（x-3）（x+1），由题意，得
3=a（0-3）（0+1），
解得：a=-1，
∴y=-（x-3）（x+1），
∴y=-x²+2x+3
∴y=-（x-1）²+4，
∴抛物线的定点坐标为：（1，4）．
∴B（1，4）．
答：抛物线的表达式为：y=-x²+2x+3，顶点B的坐标为（1，4）；
（2）∵B（1，4），A（3，0），E（0，3），
∴AB²=（1-3）²+（4-0）²=20，AE²=（3-0）²+（0-3）²=18，BE²=（1-0）²+（4-3）²=2，
∴AE²+BE²=18+2=20．
∴AE²+BE²=AB²，
∴△AEB是直角三角形．
∵tan∠BAE=

1

3

，
∴

BE

AE

=

1

3

．
∵E（0，3），
∴OE=3．
如图2，

当△AEB∽△POE时
∴

BE

AE

=

OE

OP

，
∴

3

OP

=

1

3

，
∴OP=9，
∴P（-9，0）；
如图3，

当△AEB∽△POE时，
∴

BE

AE

=

OE

OP

，
∴

3

OP

=

1

3

，
∴OP=9，
∴P（9，0）；
如图4，

当△AEB∽△EOP时，
∴

BE

AE

=

OP

OE

，
∴

0P

3

=

1

3

，
∴OP=1，
∴P（-1，0）；
如图5，

当△AEB∽△EOP时，
∴

BE

AE

=

OP

OE

，
∴

0P

3

=

1

3

，
∴OP=1，
∴P（1，0）；
综上所述：P（-9，0），P（9，0），P（-1，0）或P（1，0）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，抛物线的性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，相似三角形的性质的运用，解答时运用函数的解析式及相似三角形的性质求解是关键．