Question

先阅读下列材料，再解答后面的问题：
要求算式2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰的值，我们可以按照如下方法进行：
设2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=S  ①，则有2（2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰）=2S
∴2²+2³+2⁴+…+2¹⁰+2¹¹=2S    ②
②-①得：2¹¹-2=S∴2（2¹⁰-1）=S
∴原式：2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2（2¹⁰-1）
（一）请你根据上述方法计算：1+1.3²+1.3³+1.3⁴+…+1.3⁹=

1.310-1.39

0.3

．
（二）2008年美国的金融危机引发了波及全世界的经济危机，我国也在此次经济危机中深受影响，为此2009年我国积极理性的放宽信贷，帮助我国企业、特别是中小企业度过难关，尽最大努力减少我国的失业率．某企业在应对此次危机时积极进取，决定贷款进行技术改造，现有两种方案，
甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年获利比前一年增加30%的利润；
乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年获利比前一年增加5千元；
两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，10年的总利润，哪种获利更多？（结果精确到0.01）
（取1.05¹⁰=1.629，1.3¹⁰=13.786，1.5¹⁰=57.665 ）
（注意：‘复利’的计算方法，例如：一次性贷款7万元，按年息5%的复利计算；
（1）若1年后归还本息，则要还7（1+5%）元．
（2）若2年后归还本息，则要还7（1+5%）²元．
（3）若3年后归还本息，则要还7（1+5%）³元．

Answer 1

分析：（一）根据题目信息，设这列数的和等于S，再乘以1.3，然后两式相减进行计算即可得解；
（二）根据两种方案分别求出获利与贷款本息和，然后求出纯利，即可得解．

解答：解：（一）据题意得：设S=1+1.3²+1.3³+1.3⁴+…+1.3⁹①，
则1.3S=1.3+1.3³+1.3⁴+1.3⁵+…+1.3¹⁰②，
②-①得，0.3S=1.3¹⁰+0.3-1.3²，
S=

1.310-1.39

0.3

；

（二）据题意得：
①甲方案获利：1+（1+30%）+…+（1+30%）⁹=

1.310-1

0.3

≈42.63（万元），
银行贷款本息：10（1+5%）¹⁰≈16.29（万元），
故甲方案纯利：42.63-16.29=26.34（万元），
②乙方案获利：1+（1+0.5）+（1+2×0.5）+…+（1+9×0.5）=10×1+

10×9

2

×0.5=32.50（万元）；                                                         
银行本息和：1.05×[1+（1+5%）+（1+5%）²+…+（1+5%）⁹]=1.05×

1.0510-1

0.05

≈13.21（万元），
故乙方案纯利：32.50-13.21=19.29（万元）；
综上可知，甲方案更好．

点评：本题考查了有理数的混合运算，（一）读懂题目信息是解题的关键，要注意第一个加数1的处理，（2）根据题目信息分别求出获利与贷款本息和是解题的关键．