Question

如图，PB、PC分别切⊙O于B、C，DE是圆的直径．
（1）若tanD=

1

2

，DE=12，求PB的长．
（2）过点D作DF⊥PB于F，探索DF、DE、DB之间的关系；
（3）过点B作BG⊥DE于G，探索BE与FG之间的关系．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）连结OB，作BG⊥DE于G，如图，根据圆周角定理由DE是圆的直径得到∠DBE=90°，在Rt△BDE中，利用正切的定义得到DB=2BE，根据勾股定理可计算出BE=

12 5

5

，则DB=

24 5

5

，接着利用面积法计算出BG=

24

5

；则在Rt△OBG中利用勾股定理可计算出OG=

18

5

，然后证明△OBG∽△OPB，利用相似比计算出OP=10，最后在Rt△OPB中再根据勾股定理可计算出PB；
（2）证明△DFG∽Rt△DBE，利用相似比可得到BD²=DF•DE；
（3）先证明△DFB≌△DGB得到DF=DG，加上BD平分∠FDG，则可根据等腰三角形的性质得到BD⊥FG，然后根据平行线的判定即可得到BE∥FG．

解答：解：（1）连结OB，作BG⊥DE于G，如图，
∵DE是圆的直径，
∴∠DBE=90°，
在Rt△BDE中，∵tan∠BDE=

BE

DB

=

1

2

，
∴DB=2BE，
∵BE²+DB²=DE²，
∴BE²+4BE²=12²，解得BE=

12 5

5

，
∴DB=

24 5

5

，
∵

1

2

BG•DE=

1

2

DB•BE，
∴BG=

24

5

，
在Rt△OBG中，OG=

OB2-BG2

=

18

5

，
∵∠BOG=∠POB，
∴△OBG∽△OPB，
∴OB：OP=OG：OB，即6：OP=

18

5

：6，
∴OP=10，
在Rt△OPB中，∵OB=6，OP=10，
∴PB=

OP2-OB2

=8；
（2）∵DF⊥PB，OB∥PB，
∴OB∥DF，
∴∠FDB=∠OBD，
而OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠FDB=∠ODB，
∴Rt△DFG∽Rt△DBE，
∴DF：BD=BD：DE，
∴BD²=DF•DE；
（3）在△DFB和△DGB中，

∠DFB=∠DGB ∠FDB=∠GDB DB=DB

，
∴△DFB≌△DGB（AAS），
∴DF=DG，
∵BD平分∠FDG，
∴BD⊥FG，
∵BD⊥BE，
∴BE∥FG．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了相似三角形的判定与性质．