Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE∥AD交∠BAF的平分线于点E．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）当∠BAC满足什么条件时，四边形ADBE是正方形．

Answer 1

考点：正方形的判定,矩形的判定

专题：

分析：（1）先根据AB=AC，AD平分∠BAC，得∠BAD=

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∠BAC，AD⊥BC，然后根据AE是△ABC的外角平分线，可求出AD⊥AE，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到四边形ADBE为矩形；
（2）根据矩形的性质可知当∠BAC=90°时，则∠ABC=∠BAD=45°，利用等腰三角形的性质定理可知对应边AD=BD，再运用邻边相等的矩形是正方形，问题得证．

解答：（1）证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=

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∠BAC，AD⊥BC，
∵AE是△ABC的外角平分线，
∴∠BAE=

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∠BAF，
∵∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠BAD+∠BAE=90°，即∠DAE=90°，
∴AD⊥AE，
∵AD⊥BC，
∴AE∥BC，
又∵BE∥AD，∠DAE=90°，
∴四边形ADBE是矩形；

（2）解：当∠BAC=90°时，四边形ADBE是正方形．理由如下：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
∴AD=BD，
又∵四边形ADBE是矩形，
∴矩形ADBE为正方形．

点评：此题考查的是等腰三角形、矩形、正方形的判定与性质和三角形外角平分线的性质，具有一定的综合性，需要灵活应用．