Question

已知抛物线l₁：y=ax²-2ax+b与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，且A（-1，0），OB=OC 
（1）求抛物线l₁的解析式；
（2）将（1）中抛物线绕点P（3，-

3

2

）旋转180゜得到抛物线l₂，已知抛物线l₂交x轴于G、H两点（G在H的左侧），Q是y轴正半轴上一点，若∠QHG=∠QCA，求点Q的坐标；
（3）经过（2）中Q点的直线与（1）中抛物线l₁交于M、N两点（M在N的左侧），交抛物线l₁的对称轴于点F，是否存在这样的直线MN，使得MF=2FN？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据OB=OC，抛物线l₁：y=ax²-2ax+b可知B（-b，0），应用待定系数法即可求得．
（2）根据（1）求得的l₁解析式y=x²-2x-3化成y=（x-1）²-4，根据题意得到l₂的解析式，再根据三角形相似即可求得Q点的坐标．
（3）先根据解析式求得直线MN和抛物线l₁d的交点坐标，根据MF=2FN列出关于k的方程，解这个方程即可．

解答：解：（1）由抛物线l₁：y=ax²-2ax+b可知：C（0，b）
∵OB=OC，
∴B（-b，0），
∵抛物线l₁：y=ax²-2ax+b与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，
∴

a+2a+b=0 ab2+2ab+b=0

解得：

a=1 b=-3

 或

a=- 1 3 b=1

（舍去）
∴抛物线l₁的解析式为y=x²-2x-3；
（2）∵抛物线y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
将抛物线y=x²-2x-3绕点P（3，-

3

2

）旋转180゜得到抛物线l₂，
则抛物线l₂为：y=-（x-5）²+1，
令y=0，∴0=-（x-5）²+1，
解得：x=4或x=6，
∴H（6，0），
∵∠QHG=∠QCA，
∴△ACO∽△HQO，
∴GO：OH=OA：OC=1：3，
∴GO=2，
∴G（0，2）；

（3）存在；
理由：如图，∵抛物线y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴对称轴x=1，
∵Q（0，2），直线MN过Q点，
∴设直线MN的解析式为y=kx+2，
解

y=kx+2 y=x2-2x-3

，得：x₁=

k+2+ (k+2)2+20

2

，x₂=

k+2- (k+2)2+20

2

；
根据题意，则（

k+2+ (k+2)2+20

2

-1）：（1-

k+2- (k+2)2+20

2

）=FN：FM=1：2，
整理，得：8k²-4k-24=0，
解得：k=-

3

2

，k=2（舍去），
∴直线MN的解析式y=-

3

2

x+2．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，抛物线图形关于点的中心对称的抛物线的求法，三角形相似的判定及性质等．