Question

如图，B、D、E、F是直线l上四点，在直线l的同侧作△ABE和△CDF，且AB∥CD，∠A=40°．作BG⊥AE于G，FH⊥CD于H，BG与FH交于P点．
（1）如图1，B、E、D、F从左至右顺次排列，∠ABD=90°，求∠GPH；
（2）如图2，B、E、D、F从左至右顺次排列，△ABE与△CDF均为锐角三角形，∠ABD=α°（0＜α＜90），求∠GPH；
（3）如图3，F、B、E、D从左至右顺次排列，△ABE为锐角三角形，△CDF为钝角三角形，则∠GPH的度数为多少？请画出图形并直接写出结果，不需证明．

Answer 1

解：（1）∵BG⊥AE，
∴△ABE∽△BGE，
则∠GPH=∠BGE=∠A=40°；

（2）图如右边所示：
∵AB∥CD，
∴∠M=∠A=40°．
延长CD与AE相交于点M．
则在四边形PGMH中∠P=360°-180°-∠M=360°-∠A-180°=140°；

（3）∠GPH=40°，图如下边所示：

分析：（1）由题意可知：因为BG⊥AE，则△ABE∽△BGE，则∠GPH=∠BGE=∠A=40°；
（2）延长CD与AE相交于点M，则PGMH为四边形，因为BG⊥AE于G，FH⊥CD于H，则∠PGE=∠PHD=90°，则∠P=360°-∠PGE°-∠PHD-∠M=360°-180°-∠M，又知AB∥CD，所以∠M=∠A=40°，则可以求得∠P的度数；
（3）根据题意可以作图，延长AB与FH相交于点M，因为AB∥CD，所以∠CHF=∠BMP=90°，则△BMP∽△BGA，则∠GPH=∠A=40°．
点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，同时还考查了三角形的相似．