Question

已知x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x₁+1）（x₂+1）为负整数的实数a的整数值．

Answer 1

解：∵x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知，x₁x₂=，x₁+x₂=-；
∵一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0有两个实数根，
∴△=4a²-4（a-6）•a≥0，且a-6≠0，
解得，a≥0，且a≠6；
（1）∵-x₁+x₁x₂=4+x₂，
∴x₁x₂=4+（x₁+x₂），即=4-，
解得，a=24＞0；
∴存在实数a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立，a的值是24；

（2）∵（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=-+1=-，
∴当（x₁+1）（x₂+1）为负整数时，a-6＞0，且a-6是6的约数，
∴a-6=6，a-6=3，a-6=2，a-6=1，
∴a=12，9，8，7；
∴使（x₁+1）（x₂+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．
分析：根据根与系数的关系求得x₁x₂=，x₁+x₂=-；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；
（1）将已知等式变形为x₁x₂=4+（x₂+x₁），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；
（2）根据限制性条件“（x₁+1）（x₂+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值．
点评：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c是常数）的二次项系数a≠0．