Question

如图，抛物线y=kx²-2kx-3k交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知OC=OB．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上求点P，使PA+PO的值最小；
（3）抛物线上是否存在点Q，使△QBC的面积等于6？若存在，请求出Q的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）令y=0可得A，B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据OC=OB求出k即可得抛物线解析式；
（2）作O的关于BC的对称点O′，连接AO′与BC交于点P，此时PA+PO的值最小，先求出AO′所在的直线与BC所在直线联立可求出交点P的坐标．
（3）在y轴上取一点E（0，1），过点E作ED⊥BC于点D，则△CBE的面积等于6，过点E作EQ平行于BC，交抛物线于点Q，运用直线EQ的解析式与抛物线联立求出点Q的坐标，注意BC下面的另一条与抛物线组成的方程无实根，没有交点．

解答：解：（1）∵抛物线y=kx²-2kx-3k，
令y=0得0=kx²-2kx-3k，即0=x²-2x-3，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）
令x=0得y=-3k，
∴点C（0，-3k），
∵OC=OB，
∴3k=3，解得k=1，
∴抛物线解析式为：y=x²-2x-3，
（2）如图1，作O的关于BC的对称点O′，连接O′C，O′B，连接AO′与BC交于点P，此时PA+PO的值最小

∵OC=OB，OO′⊥BC，
∴BC被OO′平分，
∴四边形OBO′C是正方形，
∴点O′的坐标为（3，-3），
∵A（-1，0），设AO′所在的直线的解析式为y=kx+b，
∴

0=-k+b -3=3k+b

，解得

k=- 3 4 b=- 3 4

，
∴AO′所在的直线的解析式为y=-

3

4

x-

3

4

，
由B（3，0），C（0，-3）得BC所在直线的解析式为y=x-3．
∴联立组成方程组

y=- 3 4 x- 3 4 y=x-3

，解得

x= 9 7 y=- 12 7

，
∴直线AO′与直线BC的交点P的坐标为（

9

7

，-

12

7

），
（3）存在
如图2，

∵△QBC的面积等于6，
∴△QBC的面积=

1

2

BC•h，
∵OC=OB=3
∴BC=3

2

，
∴h=6×2÷3

2

=2

2

．
∵∠OCB=45°，
∴在y轴上取一点E（0，1），过点E作ED⊥BC于点D，则△CBE的面积等于6，过点E作 EQ平行于BC的平行线y=x+1，交抛物线于点Q，
由

y=x2-2x-3 y=x+1

，解得

x=-1 y=0

或

x=4 y=5

，
∴Q（-1，0）或（4，5）
同理当E点的坐标为（0，-7）时直线解析式为：y=x-7，
由

y=x2-2x-3 y=x-7

，得x²-3x+4=0，△＜0，方程无实根．
综上存在点Q（-1，0）或（4，5），使△QBC面积等于6．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识将函数问题转化为方程问题求解．