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【题目】如图,抛物线y=ax2﹣(2a+1)x+b的图象经过(2,﹣1)和(﹣2,7)且与直线y=kx﹣2k﹣3相交于点P(m,2m﹣7).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线y=kx﹣2k﹣3与抛物线y=ax2﹣(2a+1)x+b的对称轴的交点Q的坐标;
(3)在y轴上是否存在点T,使△PQT的一边中线等于该边的一半?若存在,求出点T的坐标;若不存在请说明理由.

【答案】
(1)解:∵抛物线y=ax2﹣(2a+1)x+b的图象经过(2,﹣1)和(﹣2,7),

解得

∴抛物线的解析式为y= x2﹣2x+1


(2)解:∵抛物线的图象经过点P(m,2m﹣7),

∴2m﹣7= m2﹣2m+1,

解得m1=m2=4,

∴点P的坐标为(4,1),

∵直线y=kx﹣2k﹣3经过点P,

∴4k﹣2k﹣3=1,

解得k=2,

∴直线的解析式为y=2x﹣7,

∵y= x2﹣2x+1= (x﹣2)2﹣1,

∴抛物线的对称轴为直线x=2,

∴在y=2x﹣7中,当x=2时,y=2×2﹣7=﹣3,

∴点Q的坐标为(2,﹣3)


(3)解:设点T的坐标为(0,t),M为PQ的中点,连结TM,根据题意得:

TM= PQ,即TM=PM=QM,

∴点T在以PQ为直径的圆上,

∴∠PTQ=90°,

∴△PQT为直角三角形,

同理,点M为PT或QT的中点时,△PQT仍为直角三角形,

作PA⊥y轴于A,交直线x=2于点C,QB⊥y轴于B,则AT=|1﹣t|,BT=|﹣3﹣t|,

∵PA=4,QB=2,PC=2,CQ=4,

∴PQ= = =2

①当∠PTQ=90°时,

∵PQ2=TQ2+TP2=BT2+QB2+PA2+AT2

=|﹣3﹣t|2+22+|1﹣t|2+42=20,

∴2t2+4t+10=0,即(t+1)2=﹣4,

∵(t+1)2≥0,

∴此方程无解;

②当∠PQT=90°时,PQ2+QT2=PT2

∴(2 2+22+|﹣3﹣t|2=42+|1﹣t|2

解得t=﹣2;

③当∠QPT=90°时,TQ2=PT2+PQ2

∴QB2+BT2=PA2+AT2+(2 2

∴4+|﹣3﹣t|2=16+|1﹣t|2+20,

解得t=3,

综上所述,在y轴上存在点T,其坐标分别为(0,3)和(0,﹣2),使△PQT的一边中线等于该边的一半.


【解析】(1)根据抛物线y=ax2﹣(2a+1)x+b的图象经过(2,﹣1)和(﹣2,7),求得a,b的值即可得到抛物线的解析式;(2)先根据抛物线的图象经过点P(m,2m﹣7),求得点P的坐标,再根据直线y=kx﹣2k﹣3经过点P,求得k的值,最后根据抛物线的对称轴为直线x=2,求得点Q的坐标;(3)设点T的坐标为(0,t),M为PQ的中点,连结TM,分三种情况讨论:∠PTQ=90°时,∠PQT=90°时,∠QPT=90°时,分别根据勾股定理列出关于t的方程进行求解即可.

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A.
B.
C.
D.

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7

8

9

7

10

10

9

10

10

10

10

8

7

9

8

10

10

9

10

9

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