【题目】如图,抛物线y=ax2﹣(2a+1)x+b的图象经过(2,﹣1)和(﹣2,7)且与直线y=kx﹣2k﹣3相交于点P(m,2m﹣7).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线y=kx﹣2k﹣3与抛物线y=ax2﹣(2a+1)x+b的对称轴的交点Q的坐标;
(3)在y轴上是否存在点T,使△PQT的一边中线等于该边的一半?若存在,求出点T的坐标;若不存在请说明理由.
【答案】
(1)解:∵抛物线y=ax2﹣(2a+1)x+b的图象经过(2,﹣1)和(﹣2,7),
∴ ,
解得 ,
∴抛物线的解析式为y= x2﹣2x+1
(2)解:∵抛物线的图象经过点P(m,2m﹣7),
∴2m﹣7= m2﹣2m+1,
解得m1=m2=4,
∴点P的坐标为(4,1),
∵直线y=kx﹣2k﹣3经过点P,
∴4k﹣2k﹣3=1,
解得k=2,
∴直线的解析式为y=2x﹣7,
∵y= x2﹣2x+1= (x﹣2)2﹣1,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,
∴在y=2x﹣7中,当x=2时,y=2×2﹣7=﹣3,
∴点Q的坐标为(2,﹣3)
(3)解:设点T的坐标为(0,t),M为PQ的中点,连结TM,根据题意得:
TM= PQ,即TM=PM=QM,
∴点T在以PQ为直径的圆上,
∴∠PTQ=90°,
∴△PQT为直角三角形,
同理,点M为PT或QT的中点时,△PQT仍为直角三角形,
作PA⊥y轴于A,交直线x=2于点C,QB⊥y轴于B,则AT=|1﹣t|,BT=|﹣3﹣t|,
∵PA=4,QB=2,PC=2,CQ=4,
∴PQ= = =2 ,
①当∠PTQ=90°时,
∵PQ2=TQ2+TP2=BT2+QB2+PA2+AT2
=|﹣3﹣t|2+22+|1﹣t|2+42=20,
∴2t2+4t+10=0,即(t+1)2=﹣4,
∵(t+1)2≥0,
∴此方程无解;
②当∠PQT=90°时,PQ2+QT2=PT2,
∴(2 )2+22+|﹣3﹣t|2=42+|1﹣t|2,
解得t=﹣2;
③当∠QPT=90°时,TQ2=PT2+PQ2,
∴QB2+BT2=PA2+AT2+(2 )2,
∴4+|﹣3﹣t|2=16+|1﹣t|2+20,
解得t=3,
综上所述,在y轴上存在点T,其坐标分别为(0,3)和(0,﹣2),使△PQT的一边中线等于该边的一半.
【解析】(1)根据抛物线y=ax2﹣(2a+1)x+b的图象经过(2,﹣1)和(﹣2,7),求得a,b的值即可得到抛物线的解析式;(2)先根据抛物线的图象经过点P(m,2m﹣7),求得点P的坐标,再根据直线y=kx﹣2k﹣3经过点P,求得k的值,最后根据抛物线的对称轴为直线x=2,求得点Q的坐标;(3)设点T的坐标为(0,t),M为PQ的中点,连结TM,分三种情况讨论:∠PTQ=90°时,∠PQT=90°时,∠QPT=90°时,分别根据勾股定理列出关于t的方程进行求解即可.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】图中显示了10名同学平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间(单位:小时)。
(1)用有序实数对表示图中各点。
(2)图中有一个点位于方格的对角线上,这表示什么意思?
(3)图中方格纸的对角线的左上方的点有什么共同的特点?它右下方的点呢?
(4)估计一下你每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间,在图上描出来,这个点位于什么位置?
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【题目】八(2)班组织了一次经典诵读比赛,甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表(10分制):
甲 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
乙 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
(1)甲队成绩的中位数是 分,乙队成绩的众数是 分;
(2)计算乙队的平均成绩和方差;
(3)已知甲队成绩的方差是1.4,则成绩较为整齐的是 队.
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【题目】某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系:
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系:
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】太阳是炽热巨大的气体星球,正以每秒万吨的速度失去重量.太阳的直径约为万千米,而地球的半径约为千米.请将上述三个数据用科学记数法表示,然后计算:
(1)在一年内太阳要失去多少万吨重量?
(2)在太阳的直径上能摆放多少个地球?
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【题目】概念学习
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,例如2÷2÷2,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作2③,读作“2的圈3次方”,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)记作(﹣3)④,读作“﹣3的圈4次方”,一般地,把 (a≠0)记作 a,读作“a的圈n次方”.
初步探究
(1)直接写出计算结果:2③=________,=________;
(2)关于除方,下列说法错误的是________
A.任何非零数的圈2次方都等于1; B.对于任何正整数n,1=1;
C.3④=4③ ; D.负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数.
深入思考
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
(1)试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.
(﹣3)④=________;5⑥=________;=________.
(2)想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________;
(3)算一算:24÷23+(-16)×2④.
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