Question

17．如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，连接AP、AC，过点P作BC的垂线交AC于点E，若AP=1，则PE=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 如图，作PF⊥AE于F．首先证明AP=AE=1，∠PAE=30°，求出PF，EF，利用勾股定理计算即可

解答 解：如图，作PF⊥AE于F．

∵四边形ABCD是正方形，△PBC是等边三角形，
∴∠ABC=90°，∠PBC=60°，AB=BP=BC，∠BAC=45°
∴∠ABP=30°，∠BAP=∠BPA=75°，
∴∠PAE=30°，∠APE=∠AEP=75°，
∴AP=AE=1，PF=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴EF=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PE=$\sqrt{P{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查等边三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．