Question

如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，P是对角线AC上一动点，连接PD，过点P作PE⊥PD交线段BC于E，设AP=x．
（1）求PD：PE的值；
（2）设DE²=y，试求出y与x的函数关系式，并求x取何值时，y有最小值；
（3）当△PCD为等腰三角形时，求AP的长．

Answer 1

分析：（1）此题要通过构建相似三角形求解，过P作MN⊥BC于N，交AD于M，若AP=x，通过△APM∽△ACD即可得到PM、DM的表达式，同理可求得PN、CN表达式，由于PD⊥PE，可证得△PDM∽△EPN，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得到PD：PE的值．
（2）由于△DPE是直角三角形，即可由勾股定理求得DE²的表达式，也就得到了关于y、x的函数关系式，根据函数的性质即可求出y的最小值及对应的x的值．
（3）在上面两个题中，已经求得了PD、PC的表达式，可根据：
①PD=PC，②PD=DC，③PC=CD，三个不同的等量关系，列方程求出对应的x的值，即AP的长．

解答：解：（1）过P作MN⊥BC交BC、AD于N、M，则MN∥CD．
∴

AP

AC

=

AM

AD

=

PM

CD

，
∴PM=

5

5

x，AM=

2 5

5

x，
∴PN=4-

5

5

x，DM=8-

2 5

5

x．（2分）
∵∠MPD+∠MDP=∠MPD+∠NPE=90°，
∴∠MDP=∠NPE．
又∵∠DMP=∠PNE=90°，
∴△DMP∽△PNE．（3分）
∴

DM

PN

=

PD

PE

=

PM

NE

=

8- 2 5 5 x

4- 1 5 5 x

=2，
∴PD：PE=2：1；

（2）∵PM=

5

5

x，
∴NE=

5

10

x．（4分）
∵CN=DM=8-

2 5

5

x，NE=

5

10

x，
∴CE=8-

5

2

x．（6分）
∵DE²=CD²+CE²，
∴y=

5

4

x2-8

5

x+80．（8分）
当DP⊥AC时y有最小值，可求AP=

16 5

5

，即当x=

16 5

5

时，y有最小值．（9分）

（3）当PD=PC时，则AP=2

5

；（10分）
当CP=CD时，则AP=4

5

-4；（11分）
当DP=DC时，则AP=

12 5

5

．（12分）

点评：此题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．