Question

18．如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，AF⊥BE于F，CG⊥BE于G．
（1）若∠FAE=20°，求∠DCG的度数；
（2）猜想：AF，FG，CG三者之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质求得∠ABC=∠D=90°，根据三角形的外角定理求得∠FED，再根据四边形内角和求得结论；
（2）由∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，证得∠ABF=∠BCG，再证得在ABF≌△BCG，AF=BG，由全等三角形的性质证得BF=CG，根据线段的和差和等量代换即可求得结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴
∠ABC=∠D=90°，
∵AF⊥BE，CG⊥BE，
∴∠AFE=∠CGE=90°，
∵∠FAE=20°，
∴∠FED=∠FAE+∠AFE=20°+90°=110°，
∴∠DCG=360°-∠D-∠FED-∠CGE=360°-90°-110°-90°=70°；
（2）猜想：CG=AF+FG，
证明：∵∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠ABF=∠BCG，
在△ABF和△BCG中$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠BGC}\\{∠ABF=∠BCG}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴ABF≌△BCG（AAS），
∴AF=BG，BF=CG，
∴CG=BF=BG+FG=AF+FG．

点评 本题主要考查了正方形的性质，三角形外角和定理，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，能根据互为余角的关系证得∠ABF=∠BCG是解决问题的关键．