Question

（2013•河南模拟）如图1，△ABC和△DEC是两个完全重合在一起的等腰直角三角形．现将△ABC固定，将△DEC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜135°），过点D作DF∥AB交BE的延长线于点F，连接AF、BD．
（1）如图2，当α=90°时，四边形ABDF的形状为

平行四边形

；
（2）如图3，当0°＜α≤135°时，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；
（3）若AB=1，当α从45°变化到135°的过程中，线段DF扫过区域的面积是多少？试说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出AB=DF，进而利用平行四边形的判定得出即可；
（2）利用已知首先得出∠DEF+∠BEC=90°，进而求出∠DEF=∠DFE，即可得出DF=AB，进而得出答案；
（3）分别根据当α=135°时，当α=45°时，得出当α从45°变化到135°的过程中，DF始终和AB平行且相等，则DF扫过区域的面积可利用割补的方法转化成矩形OCD′F′的面积，进而得出答案．

解答：解：（1）当α=90°时，如图2所示：
∵△ABC和△DEC是两个完全重合在一起的等腰直角三角形，
∴AB∥EC，BC=EC，
∴∠DEF=∠BEC=45°，
∴DF=DE，
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF的形状为平行四边形；
故答案为：平行四边形；

（2）（1）中结论仍然成立，
理由：∵DF∥AB，
∴∠ABF=∠DFE，
∵∠CED=90°，
∴∠DEF+∠BEC=90°，
又∵CB=CE，
∴∠EBC=∠BEC，
又∵∠EBC+∠ABF=90°，
∴∠DEF=∠ABF，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
又∵DE=AB，
∴DF=AB，
又∵DF∥AB，
∴四边形ABDF是平行四边形；

（3）如图，当α=135°时，D、E、F分别落到D′、E′、F′的位置，B、C、D′三点共线，
此时平行四边形ABD′F′是矩形；
当α=45°时，由题意知此时F、D、C三点共线，设CD与AF′交于点O，则四边形OCD′F′是矩形；
∵当α从45°变化到135°的过程中，DF始终和AB平行且相等，
则DF扫过区域的面积可利用割补的方法转化成矩形OCD′F′的面积，
由题意知D′C=AC=

2

AB=

2

，此时矩形OCD′F′的面积为：CD′×D′F′=

2

，
故DF扫过的面积为：

2

．

点评：此题主要考查了几何变换综合以及平行四边形的判定和图形的旋转以及等腰直角三角形的性质等知识，利用数形结合得出四边形形状是解题关键．