Question

如图，一次函数y=x+k图象过点A（1，0），交y轴于点B，C为y轴负半轴上一点，且OB=BC，过A，C两点的抛物线交直线AB于点D，且CD∥x轴．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）直接写出使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围．

Answer 1

解：（1）把A（1，0）代入y=x+k中，得k=-1，
∴y=x-1，令x=0，得点B坐标为（0，-1），
∵OB=BC，OB=1，
∴BC=2，
∴OC=3，
∴C点坐标为（0，-3），
又CD∥x轴，
∴点D的纵坐标为-3代入y=x-1得x=-2，
∴点D的坐标为（-2，-3），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
将A（1，0），C（0，-3），D（-2，-3）代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-3；

（2）∵直线与抛物线交于D（-2，-3），A（1，0）两点，抛物线开口向上，
∴当x＜-2或x＞1时，一次函数值小于二次函数值．
分析：（1）将A（1，0）代入y=x+k中，可求k的值，令x=0，可求B坐标，由OB=BC，可求BC的长及OC的长，从而可知C的坐标，C、D两点纵坐标相等，代入y=x+k中，可求D点坐标，设抛物线一般式，将A、C、D三点坐标代入可求抛物线解析式；
（2）根据A、D两点的横坐标，抛物线的开口方向求解．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）；顶点式y=a（x-h）²+k，其中顶点坐标为（h，k）；交点式y=a（x-x₁）（x-x₂），抛物线与x轴两交点为（x₁，0），（x₂，0）．