Question

2．如图1，在某段公路上有一条双行线隧道（可双向行驶）．隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成，如图2是它的示意图，隧道宽度AB=8m，内壁两侧各留有1m宽的安全带，顶部最高处距路面6m，矩形的宽AD=2m．
（1）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少要0.5m，求一辆宽为3m的货运卡车通过该隧道时的限高应为多少？
（2）若有一辆宽为5.5m的超宽箱式工程车欲通过该隧道，其顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差不小于10cm，在实行交通管制后，求这辆车单向通过该隧道的限高应为多少？（结果精确到1m）

Answer 1

分析 （1）建立坐标系得出求出抛物线解析式，再求出x=3时y的值，结合竖直方向上的高度差至少要0.5m可得答案；
（2）根据以上解析式求得x=$\frac{11}{4}$时y的值，由竖直方向上的高度差不小于10cm可得答案．

解答 解：（1）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，

根据题意可知点C（4，2），抛物线的顶点坐标为（0，6），
设抛物线解析式为y=ax²+6，
将点C（4，2）代入，得：16a+6=2，
解得：a=-$\frac{1}{4}$，
则抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+6，
当x=3时，y=-$\frac{1}{4}$×3²+6=$\frac{15}{4}$，
$\frac{15}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{4}$=3.25（米），
答：宽为3m的货运卡车通过该隧道时的限高应为3.25m；

（2）由题意，当x=$\frac{11}{4}$时，y=-$\frac{1}{4}$×（$\frac{11}{4}$）²+6=$\frac{263}{64}$，
$\frac{263}{64}$-0.1≈4（米），
答：这辆车单向通过该隧道的限高应为4米．

点评 本题主要考查二次函数的应用，建立合适坐标系求得抛物线解析式是前提和根本，理解题意计算相关数量是解题的关键．