Question

解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120；
（4）．

Answer 1

解：（1）原方程可变形为+1+=，
+=．
令y=，则原方程可变为y+=，
解得y₁=，y₂=．
当y₁=时，=，解得x=1；
当y₂=时，=，解得x=．
经检验：x=1或都是原方程的解．
故原方程的解为x₁=1，x₂=，x₃=．

（2）设x²+2x-8=y，则原方程可化为：++=0，
方程的两边同乘y（y+9x）（y-15x），整理得y²-4xy-45x²=0，
解得y=9x或y=-5x．
当y=9x时，x²+2x-8=9x，x²-7x-8=0，解得x₁=8，x₂=-1；
当y=-5x时，x²+2x-8=-5x，x²+7x-8=0，解得x₃=-8，x₄=1．
经检验：x₁=8，x₂=-1，x₃=-8，x₄=1都是原方程的解．
故原方程的解为x₁=8，x₂=-1，x₃=-8，x₄=1．

（3）[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]=120，
（x²+5x+4）（x²+5x+6）=120，
设x²+5x+4=y，则y（y+2）=120，
∴y²+2y-120=0，
解得y=10或y=-12．
当y=10时，x²+5x+4=10，x²+5x-6=0，解得x₁=-6，x₂=1；
当y=-12时，x²+5x+4=-12，x²+5x+16=0，△=25-64=-39＜0，故此方程无实根．
故原方程的解为x₁=-6，x₂=1．

（4）将原方程变形，得2（x+）²-4-3（x+）=1，
整理，得2（x+）²-3（x+）-5=0．
设x+=y，则原方程可化为：2y²-3y-5=0，
解得：y₁=，y₂=-1．
当y₁=时，x+=，解得：x₁=，x₂=2；
当y₂=-1时，x+=-1，即x²+x+1=0，△=1-4=-3＜0，故此方程无实根．
经检验：x₁=，x₂=2都是原方程的解．
故原方程的解为x₁=，x₂=2．
分析：（1）由于==1+，此时发现两个分式具备倒数关系，
设y=，则原方程另一个分式为1+，可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．
（2）观察发现方程左边三个分式的分母都是关于未知数x的二次三项式，且二次项都是x²，常数项都是-8，设y=x²+2x-8，可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．
（3）先运用乘法交换律与结合律将（x+1）与（x+4）相乘，（x+2）与（x+3）相乘，再设x²+5x+4=y，
则原方程化为y²+2y-120=0．用换元法解一元二次方程先求y，再求x．
（4）方程的两个分式具备平方关系，设x+=y，则原方程化为2y²-3y-5=0．用换元法解一元二次方程先求y，再求x．注意检验．
点评：本题考查了用换元法解方程．换元法是解方程的常用方法之一，它能够把方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的方程的特点，寻找解题技巧．特别注意解分式方程一定要代入最简公分母验根．