Question

已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.

(1)如图1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；

(2)如图2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.

 

Answer 1

【答案】

(1)证明:①∵四边形是矩形∴∥∴,

∵垂直平分,垂足为∴∴≌∴∴四边形为平行四边形

又∵∴四边形为菱形.

②设菱形的边长,则在中,

由勾股定理得,解得∴

(2)显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边

形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在

上、点在上时,才能构成平行四边形.   ∴以、、、四点为顶点的四边

形是平行四边形时,∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间

为秒

∴,∴,解得

∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.

【解析】（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；

（2）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可.