Question

如图①，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长是方程x²-14x+48=0的两根（OA＞OB），直线BC平分∠ABO，交x轴于点C．P是射线BC上一动点．

（1）设△PAB与△OPB的面积分别为S₁、S₂，求S₁：S₂的值；
（2）求直线BC的解析式；
（3）过O点作OE⊥BC，交AB于点E，（如图②）．若S_△AOP=S_△AEP，求P点坐标．

Answer 1

解：
（1）如图①，过P点作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分别为D、H，
∵BC为∠ABO的平分线，
∴PH=PD，
∴S₁：S₂=AB：OB，
又∵OA、OB的长是方程x²-14x+48=0的两根（OA＞OB），
解方程得：x₁=8，x₂=6，
∴OA=8，OB=6，
∴AB=10，
∴S₁：S₂=AB：OB=5：3；

（2）过C点作CK⊥AB，垂足为K，
∴OC=CK，
∴S_△AOB=OC（OB+AB）=8OC=24，
∴OC=3，
∴C（3，0），
∴y=-2x+6；

（3）①当O、P、E三点共线时，（P在OE与BC交点时）有S_△AOP=S_△AEP，
过E点作EG⊥OA，垂足为G，
∵OE⊥BC，BC平分∠ABO，
∴P是OE的中点，
∴PF是△OEG的中位线，
∵△AGE∽△AOB，
∴，
∴EG=，y_P=，
把y_P=，代入y=-2x+6中，求得x_P=，
∴P₁（）；
②当PA∥OE时，有S_△AOP=S_△AEP，
∴P₂（4，-2）．
或用代数方法：设E点坐标为（x，y），根据勾股定理求出，
再将代入y=-2x+6，同样求出P₁（）、P₂（4，-2）．
分析：（1）如图①，过P点作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分别为D、H，由BC为∠ABO的平分线，可得PH=PD，则可得S₁：S₂=AB：OB，又∵OA、OB的长是方程x²-14x+48=0的两根（OA＞OB），解方程即可求得OA，OB的长，则可得S₁：S₂的值；
（2）过C点作CK⊥AB，垂足为K，可得OC=CK，由S_△AOB=OC（OB+AB）=8OC=24，可求得点C的坐标，即即可得直线BC的解析式；
（3）分别从①当O、P、E三点共线时，（P在OE与BC交点时）有S_△AOP=S_△AEP，②当PA∥OE时，有S_△AOP=S_△AEP去分析，利用三角形的面积求解方法，即可求得P点坐标．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，一次函数的知识，三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．