【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,tan∠ACB=2,D在△ABC内部,且AD=CD,∠ADC=90°,连接BD,若△BCD的面积为10,则AD的长为多少?
【答案】5
【解析】
作辅助线构建全等三角形和高线DH,设CM=a,根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长,根据三角形面积表示DH的长,证明△ADG≌△CDH,得出DG和AG的长度,即可得出答案.
解:过D作DH⊥BC于H,过A作AM⊥BC于M,过D作DG⊥AM于G,
设CM=a,
∵AB=AC,
∴BC=2CM=2a,
∵tan∠ACB=2,
∴=2,
∴AM=2a,
由勾股定理得:AC=a,
S△BDC=BCDH=10,
=10,
DH=,
∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°,
∴四边形DHMG为矩形,
∴∠HDG=90°=∠HDC+∠CDG,DG=HM,DH=MG,
∵∠ADC=90°=∠ADG+∠CDG,
∴∠ADG=∠CDH,
在△ADG和△CDH中,
∵,
∴△ADG≌△CDH(AAS),
∴DG=DH=MG=,AG=CH=a+,
∴AM=AG+MG,
即2a=a++,
a2=20,
在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC2,
∵AD=CD,
∴2AD2=5a2=100,
∴AD=或(舍),
故答案为:
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点(点在点的左侧),与轴交于点,对称轴与轴交于点,点在抛物线上.
(1)求直线的解析式.
(2)点为直线下方抛物线上的一点,连接,.当的面积最大时,连接,,点是线段的中点,点是线段上的一点,点是线段上的一点,求的最小值.
(3)点是线段的中点,将抛物线与轴正方向平移得到新抛物线,经过点,的顶点为点,在新抛物线的对称轴上,是否存在点,使得为等腰三角形?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(﹣9,10),AC∥x轴,点P时直线AC下方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;
(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知:矩形中,,,点,分别在边,上,直线交矩形对角线于点,将沿直线翻折,点落在点处,且点在射线上.
(1)如图1所示,当时,求的长;
(2)如图2所示,当时,求的长;
(3)请写出线段的长的取值范围,及当的长最大时的长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙C的限距点的定义如下:若P′为直线PC与⊙C的一个交点,满足r≤PP′≤2r,则称P′为点P关于⊙C的限距点,如图为点P及其关于⊙C的限距点P′的示意图.
(1)当⊙O的半径为1时.
①分别判断点M(3,4),N(,0),T(1,)关于⊙O的限距点是否存在?若存在,求其坐标;
②点D的坐标为(2,0),DE,DF分别切⊙O于点E,点F,点P在△DEF的边上.若点P关于⊙O的限距点P′存在,求点P′的横坐标的取值范围;
(2)保持(1)中D,E,F三点不变,点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动,⊙C的圆心C的坐标为(1,0),半径为r,请从下面两个问题中任选一个作答.
问题1:若点P关于⊙C的限距点P′存在,且P′随点P的运动所形成的路径长为πr,则r的最小值为__________.
问题2:若点P关于⊙C的限距点P′不存在,则r的取值范围为_________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线分别交x轴、y轴于点B,C,正方形AOCD的顶点D在第二象限内,E是BC中点,OF⊥DE于点F,连结OE,动点P在AO上从点A向终点O匀速运动,同时,动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动,它们同时到达终点.
(1)求点B的坐标和OE的长;
(2)设点Q2为(m,n),当tan∠EOF时,求点Q2的坐标;
(3)根据(2)的条件,当点P运动到AO中点时,点Q恰好与点C重合.
①延长AD交直线BC于点Q3,当点Q在线段Q2Q3上时,设Q3Q=s,AP=t,求s关于t的函数表达式.
②当PQ与△OEF的一边平行时,求所有满足条件的AP的长.
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【题目】如图,矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的,AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N,设△EPQ、△GKM、△BNC的面积依次为S1、S2、S3.若S1+S3=30,则S2的值为( ).
A.6B.8
C.10D.12
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【题目】某配餐公司有A,B两种营养快餐。一天,公司售出两种快餐共640份,获利2160元。两种快餐的成本价、销售价如下表。
A种快餐 | B种快餐 | |
成本价 | 5元/份 | 6元/份 |
销售价 | 8元/份 | 10元/份 |
(1)求该公司这一天销售A、B两种快餐各多少份?
(2)为扩大销售,公司决定第二天对一定数量的A、B两种快餐同时举行降价促销活动。降价的A、B两种快餐的数量均为第一天销售A、B两种快餐数量的2倍,且A种快餐按原销售价的九五折出售,若公司要求这些快餐当天全部售出后,所获的利润不少于3280元,那么B种快餐最低可以按原销售价打几折出售?
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【题目】如图示,是的直径,点是半圆上的一动点(不与,重合),弦平分,过点作交射线于点.
(1)求证:与相切:
(2)若,,求长;
(3)若,长记为,长记为,求与之间的函数关系式,并求出的最大值.
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