Question

2．如图，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0），点C为x轴负半轴上一点，连接AC．线段AC绕点A旋转90°至线段AD，∠BAD=45°，过点D作DE⊥x轴于E，连接BD、AE，则直线BD与直线AE的交点的横坐标为$\frac{68}{23}$．

Answer 1

分析 作辅助线构造全等三角形和矩形，通过证明△AOC≌△AFD，得到AF=AO，OC=DF，由点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0），得到AF=OE=OA=EF=4，由△CAB≌△DAB，得到BC=BD，由勾股定理列方程求得点D，E的坐标，于是得到直线BD与直线AE的解析式，联立方程组求得交点的坐标．

解答 解：如图，过点A作AF⊥y轴交DE的延长线于一点F，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AF=OE，OA=EF，
∵线段AC绕点A旋转90°至线段AD，
∴AD=AC，∠CAD=90°，
∴∠CA0=90°-∠OAD，
∵∠FAD=90°=∠OAD，
∴∠CAO=∠FAD，
在△CAD与△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠F}\\{∠CAO=∠DAF}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△AFD（AAS），
∴AF=AO，OC=DF，
∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0），
∴OA=4，OB=1，
∴AF=OE=OA=EF=4，
在△CAB与△DAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠CAB=DAB=45°}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△CAB≌△DAB（SAS），
∴BC=BD，
设OC=m，则BC=BD=m+1，DE=4-m，BE=3，
∴（m+1）²=3²+（4-m）²，
∴m=$\frac{12}{5}$，
∴DE=$\frac{8}{5}$，
∴E（4，0），D（4，$\frac{8}{5}$），
∴直线AE的解析式为：y=-x+4，
直线BD的解析式为：y=$\frac{8}{15}$x-$\frac{8}{15}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{8}{15}x-\frac{8}{15}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{68}{23}}\\{y=\frac{24}{23}}\end{array}\right.$，
∴直线BD与直线AE的交点的横坐标：$\frac{68}{23}$．
故答案$\frac{68}{23}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，图形的变换旋转，勾股定理的应用，待定系数法求函数的解析式，求直线的交点坐标，正确的作出辅助线是解题的关键．