Question

7．如图①，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，连结AC．动点P在线段AD上以4cm/s的速度从点D运动到点A．过点P作PK∥AC交DC于点K，以PK为边向下作正方形PEFK．设正方形PEFK与△ADC重叠部分图形面积为S（cm²），点P的运动时间为t（s）．
（1）当EF落在线段AC上时，求t的值．
（2）求S与t之间的函数关系式．
（3）当正方形PEFK的顶点落在AB或BC边上时，求t的值．
（4）如图②，点M在边AB上，且BM=2cm．另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以4cm/s的速度从点B运动到点C．过点M、Q分别作AB、BC的垂线交于点N，得到矩形MBQN．当正方形PEFK与矩形MBQN重叠部分图形是四边形时，直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由四边形是菱形，得到四条边相等，对边平行，PK=KF=FE=PE，PK∥EF，由PK∥EF，得到得到$\frac{PK}{AC}$=$\frac{PD}{DA}$，即$\frac{5t}{8-4t}=\frac{3}{5}$，得$t=\frac{24}{37}$；
（2）当0≤t≤$\frac{24}{37}$时，重叠部分图形是正方形PKEF 所以S=PK•PE=25t²；当$\frac{24}{37}$＜t≤2时，重叠部分图形是矩形，所以$S=\frac{3}{5}（8-4t）•5t=-12{t^2}+24t$；
（3）当点E落在AB边上时，如图②，△APE≌△DKP，得到PD=AE=4t，DK=AP=3t，列方程求解，当点F落在边BC上时，如图③，同理可得3t+4t=6，得$t=\frac{6}{7}$；
当PK与AC重合时，如图④，t=2；
（4）当正方形PEFK与矩形MBQN重叠部分图形是四边形时，根据不同的时间段画出图形，列方程求解．

解答 （1）如图1，∵四边形是菱形，
∴PK=KF=FE=PE，PK∥EF，
∴$\frac{PK}{AC}$=$\frac{PD}{DA}$，∵AB=6，BC=8，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=5，∵PD=4t，
∴PK=5t，DK=3t，AP=8-4t，
∴$\frac{5t}{8-4t}=\frac{3}{5}$，得$t=\frac{24}{37}$；
      
（2）当0≤t≤$\frac{24}{37}$时，S=PK•PE=25t²．
当$\frac{24}{37}$＜t≤2时，如图②设AC，PE相交于Q，
∵∠AQP=∠ADC，∠PAC=∠PAC，
∴△APQ∽△ACD，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{PQ}{CD}$，
∴PQ=$\frac{3}{5}$（8-4t），
∴$S=\frac{3}{5}（8-4t）•5t=-12{t^2}+24t$．

（3）当点E落在边AB上时，如图2，
在△PDK与△AEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠D}\\{∠APE=∠PKD}\\{PK=PE}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△DKP，
∴PD=AE=4t，DK=AP=3t，
∴3t+4t=8，得$t=\frac{8}{7}$；
当点F落在边BC上时，如图3，同理可得3t+4t=6，得$t=\frac{6}{7}$；

综上所述；t=$\frac{8}{7}$，t=$\frac{6}{7}$；

（4）当点Q在EF上时，如图5，由$4t+[{5t-\frac{3}{5}（8-4t）}]×\frac{5}{3}=8$，得$t=\frac{48}{49}$．
当点E在MN上时，如图6，由4t+2=6，得t=1．
当点B在EF上时，如图7，由$[{5t-\frac{3}{5}（8-4t）}]×\frac{5}{3}=8$，得$t=\frac{48}{37}$．
当点N在PK上时，如图8，由$3t-\frac{3}{4}（8-4t）=4$，得$t=\frac{5}{3}$．
综上所述，$\frac{48}{49}$＜t≤1或$\frac{48}{37}$≤t≤$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理得应用，面积公式得应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是能正确的画出图形，分类讨论．