Question

已知：在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q，如图

(1)求四边形AQMP的周长；

(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明)；

(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析　(1)已知△ABC是等腰三角形，其腰长等于a，显然四边形AQMP的周长必与△ABC的腰长有关．由已知易得四边形AQMP是平行四边形．AQ＝MP是腰长的一部分，因此要看QM与QB的关系，容易推出QB＝QM，因而四边形AQMP的周长就等于腰长的2倍． 　　(2)因为平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形相似，因此△QBM～△ABC，△PMC～△ABC，当然还有△QBM～△PMC． 　　(3)由(1)知四边形AQMP是平行四边形，设想点M在边BC上移动．当BM＜MC时，QM＜MP；当BM＞MC时．QM＞MP．可想而知当BM＝MC时QM＝MP．于是得解． 　　另一方面，由(1)知QB＝QM，要想使AQ＝QM只要AQ＝QB即可．因为MQ∥是BC的中点即可．故得另一解法． 　　解　(1)PM∥AB，QM∥边形AQMP为平行四边形，且∠BMQ＝∠C，∠PMC＝∠B．又∵AB＝AC＝a．∴∠B＝∠C．∴∠BMQ＝∠B＝∠C＝∠PMC．∴QB＝QM，PM＝PC．∴四边形AQMF的周长为：AQ＋QM＋MP＋PA＝AQ＋QB＋PC＋PA＝AB＋AC＝2a． 　　(2)△ABC～△QBM～△PMC． 　　(3)解法一，当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形，∵M为底边BC的中点， 　　∴BM＝CM． 　　由(1)知：∠B＝∠C，∠BMQ＝∠CMP，∴△BQM≌△CPM．∴PM＝QM．由(1)知：四边形AQMP为平行四边形． 　　∴四边形AQMP为菱形． 　　解法二：当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形．∵M为底边BC的中点，QM∥AC，∴Q为AB的中点，由(1)知QB＝QM，∴AQ＝QM，由(1)知四边形AQMP是平行四边形．∴四边形AQMP是菱形．