Question

已知抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y₁的部分对应值如下表所示：
（Ⅰ）求y₁与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y₂）．
（1）求y₂与x之间的函数关系式；
（2）当x取任意实数时，若对于同一个x，有y₁＜y₂恒成立，求t的取值范围．

x	…	-1	0	3	…
y1=ax2+bx+c	…	0		0	…

Answer 1

解：（Ⅰ）∵抛物线经过点（0，），
∴c=．
∴y₁=ax²+bx+，
∵点（-1，0）、（3，0）在抛物线y₁=ax²+bx+上，
∴，解得，
∴y₁与x之间的函数关系式为：y₁=-x²+x+；

（II）∵y₁=-x²+x+，
∴y₁=-（x-1）²+3，
∴直线l为x=1，顶点M（1，3）．
①由题意得，t≠3，
如图，记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，
∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，
∴四边形ANMP为菱形，
∴PA∥l，
又∵点P（x，y₂），
∴点A（x，t）（x≠1），
∴PM=PA=|y₂-t|，
过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y₂），
∴QM=|y₂-3|，PQ=AC=|x-1|，
在Rt△PQM中，
∵PM²=QM²+PQ²，即（y₂-t）²=（y₂-3）²+（x-1）²，整理得，y₂=（x-1）²+，
即y₂=x²-x+，
∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，
∴P（1，），
∴P点坐标也满足上式，
∴y₂与x之间的函数关系式为y₂=x²-x+（t≠3）；

②根据题意，借助函数图象：
当抛物线y2开口方向向上时，6-2t＞0，即t＜3时，抛物线y₁的顶点M（1，3），抛物线y₂的顶点（1，），
∵3＞，
∴不合题意，
当抛物线y₂开口方向向下时，6-2t＜0，即t＞3时，
y₁-y₂=-（x-1）²+3-[（x-1）²+]
=（x-1）²+，
若3t-11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，
只要抛物线y=（x-1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在x轴下方，
∵3-t＜0，只要3t-11＞0，解得t＞，符合题意；
若3t-11=0，y₁-y₂=-＜0，即t=也符合题意．
综上，可以使y₁＜y₂恒成立的t的取值范围是t≥．
分析：（I）先根据物线经过点（0，）得出c的值，再把点（-1，0）、（3，0）代入抛物线y₁的解析式即可得出y₁与x之间的函数关系式；
（II）先根据（I）中y₁与x之间的函数关系式得出顶点M的坐标．
①记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥l，再由点P（x，y₂）可知点A（x，t）（x≠1），所以PM=PA=|y₂-t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y₂），故QM=|y₂-3|，PQ=AC=|x-1|，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y₂与x之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y₂与x之间的函数关系式；
②据题意，借助函数图象：当抛物线y₂开口方向向上时，可知6-2t＞0，即t＜3时，抛物线y₁的顶点M（1，3），抛物线y₂的顶点（1，），由于3＞，所以不合题意，当抛物线y₂开口方向向下时，6-2t＜0，即t＞3时，求出y₁-y₂的值；若3t-11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，只要抛物线方向及且顶点（1，）在x轴下方，因为3-t＜0，只要3t-11＞0，解得t＞，符合题意；若3t-11=0，y₁-y₂=-＜0，即t=也符合题意．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理及二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用．