Question

【题目】如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1.

(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标;

(2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动,当N点到达A点时,M,N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒,当t为何值时,四边形OMPN为矩形.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3，B点坐标为(3,0).（2）t的值为1.

【解析】

（1）根据对称轴求出b的值，把A点坐标代入求出c的值即可；（2）根据矩形性质得ON=PM，列方程求出t的值即可.

(1)因为抛物线y=-x2+bx+c对称轴是直线x=1,

所以-=1,

解得b=2.

因为抛物线过A(0,3),

所以c=3.

所以抛物线解析式为y=-x2+2x+3.

令y=0,得-x2+2x+3=0,

解得x1=-1,x2=3.

所以B点坐标为(3,0).

(2)由题意可知ON=3t,OM=2t,

因为P在抛物线上,

所以P(2t,-4t2+4t+3).

因为四边形OMPN为矩形,

所以ON=PM.

所以3t=-4t2+4t+3.

解得t1=1或t2=-(不合题意,舍去),

所以当t的值为1时,四边形OMPN为矩形.