Question

我们给出如下定义：如图①，平面内两条直线l₁、l₂相交于点O，对于平面内的任意一点M，若p、q分别是点M到直线l₁和l₂的距离（P≥0，q≥0），称有序非负实数对[p，q]是点M的距离坐标．
根据上述定义，请解答下列问题：
如图②，平面直角坐标系xoy内，直线l₁的关系式为y=x，直线l₂的关系式为，M是平面直角坐标系内的点．
（1）若p=q=0，求距离坐标为[0，0]时，点M的坐标；
（2）若q=0，且p+q=m（m＞0），利用图②，在第一象限内，求距离坐标为[p，q]时，点M的坐标；
（3）若，则坐标平面内距离坐标为[p，q]时，点M可以有几个位置？并用三角尺在图③画出符合条件的点M（简要说明画法）．

Answer 1

解：（1）∵p=q=0
∴点M是l₁和l₂的交点，故M（0，0）

（2）∵q=0
∴点M在l₂上，
如图②，在第一象限内取点，过点M作MA⊥l₁交l₁于点A，过点M作BC∥y轴交l₁、x轴于点B、C
则OC=BC
∵q=0，p+q=m（m＞0）
∴p=0，
即MA=m，
∵∠B=45°，
∴，
由OC=BC得a=m+a，解得a=2m，
则

（3）点M有4个
画法：
①分别过点、作与直线l₁平行的直线EF、E₁F₁（与l₁距离为1）
②分别过点、作与直线l₂平行的直线GH、G₁H₁（与l₂距离为）
③直线EF、E₁F₁、GH、G₁H₁的4个交点M₁、M₂、M₃、M₄就是符合条件的点．
分析：（1）根据题意可得此时M在两直线的交点位置．
（2）由题意可得此时点M在直线l₂上，根据l₂的解析式设出M点坐标，再根据k的几何意义可得出M点坐标．
（3）运用平行线的知识进行此问的解答．
点评：本题考查了一次函数的知识，综合性较强，难度较大，同学们要注意细心地进行题干的分析，然后根据题意解答．