Question

（1）人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的：如图1，?ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，HG∥AB，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？
根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为______和______；
（2）如图2，点P为?ABCD内一点，过点P分别作AD、AB的平行线分别交?ABCD的四边于点E、F、G、H．已知S_?BHPE=3，S_?PFDG=5，则S_△PAC=______；
（3）如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重复、无缝隙）．已知①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD的面积为11，则菱形EFGH的周长为______．

Answer 1

解：（1）∵?ABCD中，EF∥BC，HG∥AB，
∴S_△ABD=S_△BCD，S_△PBE=S_△PBG，S_△PDH=S_△PDF，
∴S_?AEPH=S_?PGCF，S_?ABGH=S_?EBCF，S_?AEFD=S_?HGCD，
故答案为：?AEPH 和?PGCF 或?ABGH 和?EBCF 或?AEFD 和?HGCD；

（2）根据（1）可得：S_△ABC=S_△ADC，S_△PAE=S_△PAG，S_△PCH=S_△PCF，
∵S_?BHPE=3，S_?PFDG=5，
∴S_△PAC=S_△PAG+S_△PCF+S_?PFDG-S_△ACD=S_△PAG+S_△PCF+S_?PFDG-S_?ABCD=S_△PAG+S_△PCF+S_?PFDG-（2S_△PAG+2S_△PCF+S_?BHPE+S_?PFDG）=S_?PFDG-（S_?BHPE+S_?PFDG）=1；
故答案为：1；

（3）∵①②③④四个平行四边形面积的和为14，
∴S₁+S₂+S₃+S₄=14，
∵四边形ABCD的面积为11，
∴S₅=11-14×=4，
∴S_菱形EFGH=S₁+S₂+S₃+S₄+S₅=18，
∵菱形EFGH的一个内角为30°，
∴设边长为x，
则x•xsin30°=18，
解得：x=6，
∴菱形EFGH的周长为24．
故答案为：24．
分析：（1）由?ABCD中，EF∥BC，HG∥AB，根据平行四边形的性质，可得S_△ABD=S_△BCD，S_△PBE=S_△PBG，S_△PDH=S_△PDF，继而可得S_?AEPH=S_?PGCF，S_?ABGH=S_?EBCF，S_?AEFD=S_?HGCD；
（2）由（1）可得：S_△ABC=S_△ADC，S_△PAE=S_△PAG，S_△PCH=S_△PCF，继而可得S_△PAC=S_?PFDG-（S_?BHPE+S_?PFDG）；
（3）由①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD的面积为11，即可求得菱形EFGH的面积，继而求得答案．
点评：此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．