Question

D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）

Answer 1

考点：三角形中位线定理,平行四边形的判定,菱形的判定

专题：几何图形问题

分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=

1

2

BC，GF∥BC且GF=

1

2

BC，从而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．

解答：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，且DE=

1

2

BC，
同理，GF∥BC，且GF=

1

2

BC，
∴DE∥GF且DE=GF，
∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）解：当OA=BC时，平行四边形DEFG是菱形．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．