Question

20．关于x的方程ax²+2（a-3）x+（a-2）=0至少有一个整数根，且a是整数，求a的值．

Answer 1

分析 当a=0时化为一次方程求出x，当a≠0 时，方程为一元二次方程，由△=4（9-4a）为完全平方数知9-4a为完全平方数，设9-4a=n²，则n为正奇数且n≠3，知a=$\frac{9-{n}^{2}}{4}$，代入求根公式后根据方程有整数根判断即可．

解答 解：当a=0时，原方程为-6x-2=0，解得：x=-$\frac{1}{3}$，即原方程无整数解．
当a≠0 时，方程为一元二次方程，它至少有一个整数根，
∴△=[2（a-3）]²-4a（a-2）=4（9-4a）为完全平方数，即9-4a为完全平方数，
设9-4a=n²，则n为正奇数，且n≠3 否则a=0，
所以a=$\frac{9-{n}^{2}}{4}$，
由求根公式得：x=$\frac{-2（a-3）±2n}{2a}$=-1+$\frac{3±n}{a}$=-1+$\frac{4（3±n）}{9-{n}^{2}}$，
所以x₁=-1+$\frac{4}{3+n}$，x₂=-1+$\frac{4}{3-n}$，
要使x₁为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2，
要使x₂为整数，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10，
综上所述，a的值为2，-4，-10．

点评 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与求根公式是解题的关键．