Question

10．已知矩形ABCD，AB=6，AD=4$\sqrt{3}$
（1）如图1，在矩形ABCD内部找一点P，使∠APB=90°；
（2）如图2，在矩形ABCD内部画出使∠APB=60°的点P的轨迹；
（3）在（2）的条件下，求DP的取值范围及P的轨迹长．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知，要使得∠APB=90°，只要以AB为直径作圆，交于矩形内部的部分即是所求；
（2）根据题意作AB的垂直平分线，使得∠AOB=120°，然后再说明即可；
（3）要求DP得取值范围，只要找出DP的最大值和最小值即可，根据图2可知点P的轨迹是一条弧长，求出它的长度即可解答本题．

解答 解：（1）如右图1所示，以AB为直径，$\widehat{AEB}$上除去端点A、B外的任何一点都符合要求，使得∠APB=90°，
（2）如右图2所示，作AB的垂直平分线OE交AB与点F，使得∠AOB=120°，以OA长为半径作圆，交矩形ABCD于点M、N，则$\widehat{MEN}$上的任何一点都符合要求，使得∠APB=60°，则$\widehat{MEN}$为点P的轨迹；
（3）连接DO交⊙O于点P₁，连接DM交⊙O于点P₂（点N与点P₂重合），如图2所示，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOF=60°，∠OAF=30°，
∵AB=6，AD=4$\sqrt{3}$，
∴AF=3，OF=AF•tan30°=$\sqrt{3}$，OA=$\sqrt{O{F}^{2}+A{F}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}=2\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{{3}^{2}+（4\sqrt{3}-\sqrt{3}）^{2}}=6$，
∴DP₁=6-2$\sqrt{3}$，
∵OF=$\sqrt{3}$，BC=4$\sqrt{3}$，
∴CP₂=4$\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵CD=6，
∴DP₂=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
即DP的取值范围是（$6-2\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$），
点P的轨迹长为$\widehat{MEN}$的长，
∵$\widehat{MEN}$=$\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$，
∴点P的轨迹的长为$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$．

点评 本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，根据题目中的条件可以画出相应的图形，利用数形结合的思想解答问题．