Question

13．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①∠DAF=15°，②AC垂直平分EF，③BE+DF=EF，④AF=$\sqrt{2}$EC
．其中正确结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据全等三角形的性质以及等边三角形、正方形的性质，即可得到∠DAF=15°；根据CE=CF，AE=AF，即可得出AC垂直平分EF；设EG=GF=CG=1，根据BE+DF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，EF=2，即可得到BE+DF≠EF；根据等腰Rt△CEF中，EF=$\sqrt{2}$CE，且△AEF是等边三角形，可得AF=$\sqrt{2}$EC．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE=∠DAF，BE=DF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°，故①正确．

∵BC=CD，BE=DF，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，故②正确．

设EG=GF=CG=1，则CE=$\sqrt{2}$，AG=$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{3}$+1，
∴Rt△ABC中，BC=$\frac{AC}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴BE=BC-CE=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
∴BE+DF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
又∵EF=2，
∴BE+DF≠EF，故③错误；

∵等腰Rt△CEF中，EF=$\sqrt{2}$CE，且△AEF是等边三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$EC，故④正确；
故选：C．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，等边三角形和正方形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，证得Rt△ABE≌Rt△ADF是解题的关键．