Question

14．如图，正三角形ABC内接于圆O，设圆的半径为r，你能写出图中阴影部分的面积s与r之间的函数关系吗？你认为用哪种方法表示它们之间的函数关系比较方便？

Answer 1

分析 根据S_阴影=S_圆-S_△ABC，并把正三角形ABC的面积转化为3个三角形面积的和解答．

解答 解：如图，连结OD，作OD⊥AB于D．
在Rt△OAD中，∵∠ODA=90°，∠OAD=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$r，AD=$\sqrt{3}$OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴AB=2AD=$\sqrt{3}$r，
∴S_△ABC=3S_△OAB=3×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$r×$\frac{1}{2}$r=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$r²，
∴S_阴影=S_圆-S_△ABC=πr²-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$r²=（π-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）r²，
即s=（π-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）r²，s是r的二次函数，
所以利用解析式表示它们之间的函数关系比较方便．

点评 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正多边形和圆的有关知识，在计算正多边形中有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中进行计算．