Question

3．如图，某中学数学课外学习小组想测量教学楼DC的高度，组员小方在A处仰望教学楼顶端D处，测得∠DAC=α，小方接着向教学楼方向前进到B处，测得∠DBC=2α，已知∠DCA=90°，AC=24m，tanα=$\frac{1}{2}$．
（1）求教学楼DC的高度；
（2）求cos∠DBC的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用锐角三角函数关系得出DC的值；
（2）首先利用外角的性质得出AB=BD，再利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）∵在Rt△ACD中，tanα=$\frac{CD}{AC}$，
∴$\frac{CD}{24}$=$\frac{1}{2}$，
CD=12cm，
答：教学楼DC的高度为12cm；

（2）∵∠DAC=α，∠DBC=2α，
∴∠ADB=∠DAB=α，
∴AB=BD，
设BC=x，则BD=24-x，
故x²+12²=（24-x）²，
解得：x=9，
则BD=24-9=15（m），
故cos∠DBC=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，正确得出AB=BD是解题关键．