Question

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y 轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，2OB=OD，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA=OD=2，OC=OE=4，2OB=OD，
∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4），D（0，2），
设函数解析式为y=a（x+1）（x-4），
∴a×1×（-4）=4，解得a=-1，
∴经过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-4）=-x²+3x+4

（2）∵A（-2，0），D（0，2）；
所以直线AD：y=x+2；
联立，
解得F（1-，3-），G（1+，3+）；
设P点坐标为（x，x+2）（1-＜x＜1+），则Q（x，-x²+3x+4）；
∴PQ=-x²+3x+4-x-2=-x²+2x+2；
由条件容易求得M（，），
若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形；
①以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|x_M-x_P|，
即：-x²+2x+2=2（-x），
解得x=2-，x=2+（不合题意舍去）
∴P（2-，4-）；
②以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|x_M-x_Q|，
即：-x²+2x+2=-x，
解得x=，x=（不合题意舍去）
∴P（，）
故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2-，4-）或（，）．

分析：（1）由条件可以求出点B、E、C的坐标，然后利用待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式．
（2）易知△AOD是等腰Rt△，若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，那么△PQM也必须是等腰Rt△；由于∠QPM≠90°，因此本题分两种情况：
①PQ为斜边，M为直角顶点；②PM为斜边，Q为直角顶点；
首先求出直线AD的解析式，进而可得到M点的坐标；设出P点横坐标，然后根据抛物线和直线AD的解析式表示出P、Q的纵坐标，即可得到PQ的长；在①中，PQ的长为M、P横坐标差的绝对值的2倍；在②中，PQ的长正好等于M、P横坐标差的绝对值，由此可求出符合条件的P点坐标；
点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，同时还考查了分类讨论的数学思想．