Question

如图，在△ABC中，∠A=30°，AB=24，AC=16，点P从点B出发，沿BA边以4/秒的速度移动到点A；点Q从点C出发，沿CA边以2/秒的速度向点A移动. P、Q两点同时出发，设运动的时间为（≤≤）秒.

（1）已知QD⊥AB，垂足为D.

①（4分）用含的代数式表示QD=            ；

②（4分）当△APQ的面积是△ABC面积的一半时，求的值；

（2）（5分）当以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）时，求的值.

 

Answer 1

解：

（1）（）； …………………………………………………………………………… 4分

（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE=AC=， …………………………… 5分

依题意得：BP=，AP=（），

连结PQ，

当时，

APDQ=ABCE，

（）（）=  ……………………………………… 6分

整理得，

解得：，（不合题意，舍去）  ………………………………… 7分

     即当时，△APQ的面积是△ABC面积的一半.  …………………………… 8分

（3）当△APQ∽△ABC时，则有， ………………………………………… 9分

即：，

解得：（不合题意，舍去）； ……………………………………………… 10分

当△APQ∽△ACB时，则有， ………………………………………… 11分

即：，

解得. ………………………………………………………………………… 12分

综上所述：当时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）.  13分