Question

6．如图，在等腰△ABC中，AB=CB，M为△ABC内一点，∠MAC+∠MCB=∠MCA=30°，则∠BMC的度数为150°．

Answer 1

分析 以AC为边作对边△BCE，使A，E在BC的同侧，连接AE，利用全等三角形证得角与角的关系，AB=BD，得到等腰三角形，由等边对等角，三角形的内角和求解．

解答 解：以AC为边作等边△ACE，使B，E在AC的同侧，连接BE，
设∠BCM=θ，∠ABM=α，∠CBM=β，
在△ABE与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CE}\\{BE=BE}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCE，
∴∠AEB=∠BEC=30°=∠ACM，
∵∠BAE=∠EAC-∠BAM-∠MAC=30°-θ=∠MAC，
在△ABE与△AMC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠ACM}\\{∠ABE=∠AMC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MAC，
∴AB=AM，
∴α=∠ABM=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAM）=90°-θ，
∴β=180°-∠BAC-∠BCA-α=30°-θ，
∴∠BMC=180°-β-θ=150°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是角与角之间的关系．