Question

16．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），⊙O与x轴交于点C（1，0），点F是⊙O 上的一动点，圆心角∠EOF=90°（其中E、O、F按逆时针方向排列）．
（1）求过点A、B、C的抛物线所对应的函数关系式；
（2）是否存在着点F（a，b）（a＞0），使得∠EAO=28°，请说明理由；
（3）若直线AE与抛物线的对称轴m交于点D，记点D的纵坐标为y，求y的最大值；
（4）若直线AE与直线BF交于点H（m，n）、探究n的取值范围（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）已知了抛物线上A，B，C三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）点F是⊙O 上的一动点，根据其运动规律，点F（a，b）（a＞0），点E在第一，二象限，若F按逆时针运动，∠EAO在逐渐增大，当运动至与过点A的切线的切点重合时，∠EAO=30°，∠EAO最大，存在着点F（a，b）（a＞0），使得∠EAO=28°；
（3）根据变化规律，不难发现当点D与点M重合时，点D的纵坐标y最大，利用勾股定理即可得到结果；
（4）当点F在x轴的负半轴时，点E在y轴的负半轴时，n值最小，直线AE与直线BF解析式求出交点坐标，求的n=-$\frac{2}{5}$；当点F在x轴的正半轴时，点E在y轴的正半轴，此时n值最大，n=$\frac{6}{5}$，∴$-\frac{2}{5}$≤n≤$\frac{6}{5}$

解答 解：（1）设该抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
将A（-2，0），B（0，2），C（1，0）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b+c}\\{2=c}\\{0=a+b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的解析式为：y=-x²-x+2；

（2）存在．证明：点F（a，b）（a＞0），
点E在第一，二象限，若F按逆时针运动，
∠EAO在逐渐增大，
过点A做⊙O的切线⊙O于点M，
E点与M点重合时，AO=2，OE=1，
∴∠EAO=30°，
∴存在着点F（a，b）（a＞0），使得∠EAO=28°；

（3）如图，抛物线对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
直线x=$-\frac{1}{2}$与圆相交于点M，
当点D与点M重合时，
点D的纵坐标y最大为：
y=MN=$\sqrt{{OM}^{2}{-ON}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴y最大值为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（4）当点F在x轴的负半轴时，点E在y轴的负半轴时，F（-1，0），E（0，-1），
设直线AE解析式为：y=kx+b，代入得$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{-1=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AE解析式为：y=-$\frac{1}{2}x$-1，
设直线BF解析式为：y=kx+b，代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=-k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BF解析式为：y=2x+2，
组方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{6}{5}}\\{y=-\frac{2}{5}}\end{array}\right.$即n=$-\frac{2}{5}$，此时n最小；
当点F在x轴的正半轴时，点E在y轴的正半轴时，F（1，0），E（0，1），
设直线AE解析式为：y=kx+b，代入得$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{1=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AE解析式为：y=$\frac{1}{2}x+1$，
设直线BF解析式为：y=kx+b，代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BF解析式为：y=-2x+2，
组方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=-2x+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，即n=$\frac{6}{5}$，此时n最大，
∴$-\frac{2}{5}$≤n≤$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了待定系数法求解析式，变化规律，数形结合，分析变化规率是解决此题的关键．