在△ABC中.分别以AB.AC为斜边向外侧作等腰直角三角形.作DF⊥AB.EG⊥AC.垂足分别为F.G.点M是BC的中点.连接DM.EM．(1)如图1.当AB=AC时.连接FM.GM.求证:△DFM≌△MGE,(2)如图2.当△ABC是任意三角形时.判断DM.EM的关系并说明理由,(3)如图3.当△ABC是任意三角形时.分别以AB.AC为斜边向△ABC内侧作等腰直角三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．在△ABC中，分别以AB、AC为斜边向外侧作等腰直角三角形，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，点M是BC的中点，连接DM，EM．

（1）如图1，当AB=AC时，连接FM、GM，求证：△DFM≌△MGE；
（2）如图2，当△ABC是任意三角形时，判断DM、EM的关系并说明理由；
（3）如图3，当△ABC是任意三角形时，分别以AB、AC为斜边向△ABC内侧作等腰直角三角形，点M是BC的中点，连接MD和ME，则△MED的形状是等腰直角三角形．

分析（1）根据△ABD是等腰直角三角形，且DF⊥AB，所以得到DF=$\frac{1}{2}$AB，根据点G为AC的中点，点M为BC的中点，所以MG为△ABC的中位线，所以MG∥AB，且MG=$\frac{1}{2}$AB，同理FM∥AC，且FM=$\frac{1}{2}$AC，得到DF=MG，FM=EG，根据MG∥AB，FM∥AC，所以四边形AFMG是平行四边形，所以∠AFM=∠AGM，证明∠DFM=∠MGE，所以△DFN≌△MGE．
（2）DM⊥EM，且DM=EM，理由如下：设AB和DM交于点P，连接FM，GM，由（1）得：DF=MG，FM=EG，∠DFM=∠MGE，证明△DFM≌△MGE，得到DM=EM，由△DFM≌△MGE，得到∠FDM=∠EMG，所以∠DPA=∠DFP+∠FDM，根据MG∥AB，得到∠DMG=∠DPA=∠DFP+∠FDM，又由∠DMG=∠DM+∠EMG，得到∠DNE=∠DFP=90°，即可解答．
（3）类比（1）（2）可得：△MDE是等腰直角三角形．

解答解：（1）∵△ABD是等腰直角三角形，且DF⊥AB，
∴BF=AF，∴DF=$\frac{1}{2}$AB，
∵点G为AC的中点，点M为BC的中点，
∴MG为△ABC的中位线，
∴MG∥AB，且MG=$\frac{1}{2}$AB，同理FM∥AC，且FM=$\frac{1}{2}$AC，
∴DF=MG，FM=EG，
∵MG∥AB，FM∥AC，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴∠AFM=∠AGM，
∵∠AFM+∠BFM=∠AGM+∠CGM=180°，
∴∠BFM=∠CGM，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB=90°，同理∠EGC=90°，
∴∠DFB=∠EGC，
∴∠DFB+∠BFM=∠EGC+∠CGM，
∴∠DFM=∠MGE，
在△DFN和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}\\{∠DFM=∠MGE}\\{FM=EG}\end{array}\right.$，
∴△DFN≌△MGE．
（2）DM⊥EM，且DM=EM，
理由如下：如图2，设AB和DM交于点P，连接FM，GM，

由（1）得：DF=MG，FM=EG，∠DFM=∠MGE，
在△DFM和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}\\{∠DFM=∠MGE}\\{FM=EG}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE，
∴DM=EM，
∵△DFM≌△MGE，
∴∠FDM=∠EMG，
∴∠DPA=∠DFP+∠FDM，
∵MG∥AB，
∴∠DMG=∠DPA=∠DFP+∠FDM，
∵∠DMG=∠DM+∠EMG，
∴∠DME=∠DFP=90°，
∴DM⊥EM．
（3）类比（1）（2）可得：△MDE是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．

点评本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形是解答本题的关键．

练习册系列答案

课课练与单元测试系列答案

世纪金榜小博士单元期末一卷通系列答案

单元测试AB卷台海出版社系列答案

黄冈新思维培优考王单元加期末卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

16．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．
（1）已知点A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．
①若A、B、P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；
②A、B、P三点的“矩面积”的最小值为4．
（2）已知点E（4，0），F（0，2）M（m，4m），其中m＞0．若E、F、M三点的“矩面积”的为8，求m的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

17．计算：$\sqrt{18}$-|-3$\sqrt{2}$|-（$\frac{1}{3}$）^-2+（2015-π）⁰．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

14．利用墙的一边，再用13m的铁丝，围成一个面积为20m²的长方形，求这个长方形与墙平行的一边的长．设与墙平行的一边的长为xm，可列方程为（　　）

A．

（（13-x）=20

B．

x（$\frac{13-x}{2}$）=20

C．

x（13-$\frac{1}{2}$x）=20