Question

4．已知实数a、b满足3^a=2007，223^b=2007，求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$的值．

Answer 1

分析 由3^a=2007=3×3×223，223^b=2007=3×3×223，得到3^a-2=223，223^b-1=3²，于是得到（3^a-2）^b-1=3²，推出（a-2）（b-1）=2，得到ab=a+2b，于是得到结果．

解答 解：∵3^a=2007=3×3×223，即3^a-2=223，
223^b=2007=3×3×223，即223^b-1=3²，
∴（3^a-2）^b-1=3²，
∴（a-2）（b-1）=2，
整理得：ab=a+2b，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{a+2b}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的性质是解题的关键．