Question

19．如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．
（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；
（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

Answer 1

分析 （1）由折叠可得AB=AB′，BE=B′E，再根据四边形ABCD是正方形，易证B′E=B′F，即可证明DF+BE=AF；
（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE-DF=AF；证明图（2）：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，
根据CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B′AE=∠DAG，则∠GAF=∠DAE，则∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．

解答 解：（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B′E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC=DF，∠B′CE=45°，
∴B′E=B′F，
∴AF=AB′+B′F，
即DF+BE=AF；

（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；
图（3）的结论：BE-DF=AF；
图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，
需证△ABE≌△ADG，
∵CB∥AD，
∴∠AEB=∠EAD，
∵∠BAE=∠B′AE，
∴∠B′AE=∠DAG，
∴∠GAF=∠DAE，
∴∠AGD=∠GAF，
∴GF=AF，
∴BE+DF=AF；
图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，
需证△ABM≌△ADF，
∵∠BAM=∠FAD，AF=AM
∵△ABE≌AB′E
∴∠BAE=∠EAB′，
∴∠MAE=∠DAE，
∵AD∥BE，
∴∠AEM=∠DAB，
∴∠MAE=∠AEM，
∴ME=MA=AF，
∴BE-DF=AF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质以及翻折变换，是一道综合型的题目，难度不大，而证明三角形的全等是解题的关键．