Question

14．我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图，锐角△ABC中，点A、B、C所对的边分别为a、b、c，过点C作CD⊥AB，在Rt△ADC中，CD=bsinA，AD=bcosA
∴BD=c-bcosA  
在Rt△BDC中，由勾股定理：CD²+BD²=BC²
（c-bcosA）²+（bsinA）²=a²，整理得：a²=b²+c²-2bccosA
同理可得：b²=a²+c²-2accosB，c²=a²+b²-2abcosC．
利用上述结论解答下列问题：
（1）锐角在△ABC中，∠A=45°，b=2$\sqrt{2}$，c=2，求a和∠C的大小
（2）在△ABC中，a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，∠B=45°，（c＞a＞b），求边长c的长度．

Answer 1

分析 （1）根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的值，根据勾股定理的逆定理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；
（2）把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程得到答案．

解答 解：（1）在锐角△ABC中，a²=b²+c²-2bccosA
=（2$\sqrt{2}$）²+4-2×2$\sqrt{2}$×2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=4
解得，a=2，
2²+2²=（2$\sqrt{2}$）²
∴△ABC为直角三角形，a=c=2，
∴∠C=45°；
（2）∵b²=a²+c²-2accosB，
∴c²-$\sqrt{6}$c+1=0，
解得，c=$\frac{\sqrt{6}±\sqrt{2}}{2}$，
∵c＞a＞b，
∴c=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的是新定义和解直角三角形的知识，理解新定义并正确运用新定义的公式是解题的关键，注意应熟记特殊角的三角函数值．