Question

4．如图，已知BD平分∠ABF，且交AE于点D，
（1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的作法作出∠BAE的平分线AP即可；
（2）根据ASA证明△ABO≌△CBO，得出AO=CO，AB=CB，再根据ASA证明△ABO≌△ADO，得出BO=DO．由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形．

解答 （1）解：如图所示：


（2）证明：如图：

在△ABO和△CBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠CBO}\\{OB=OB}\\{∠AOB=∠COB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CBO（ASA），
∴AO=CO，AB=CB．
在△ABO和△ADO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠OAD}\\{OA=OA}\\{∠AOB=∠AOD=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ADO（ASA），
∴BO=DO．
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=CB，
∴平行四边形ABCD是菱形．

点评 此题主要考查了角平分线的作法以及菱形的判定和全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题关键．