如图1.直线l:y=x+$\sqrt{3}$与x轴负半轴.y轴正半轴分别相交于A.C两点.抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+bx+c经过点B(1.0)和点C．(1)求抛物线的解析式,(2)已知点Q是抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+bx+c在第二象限内的一个动点．①如图1.连接AQ.CQ.设点Q的横坐标为t.△AQC的面积为S.求S与t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．如图1，直线l：y=x+$\sqrt{3}$与x轴负半轴、y轴正半轴分别相交于A、C两点，抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c经过点B（1，0）和点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点Q是抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c在第二象限内的一个动点．
①如图1，连接AQ、CQ，设点Q的横坐标为t，△AQC的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
②连接BQ交AC于点D，连接BC，以BD为直径作⊙I，分别交BC、AB于点E、F，连接EF，求线段EF的最小值，并直接写出此时点Q的坐标．

分析（1）根据直线的解析式得到点C（0，$\sqrt{3}$），把点B（1，0）与点C（0，$\sqrt{3}$）代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c，于是得到结论；
（2）①连接OQ，在直线y=x+$\sqrt{3}$中，令y=0，则x=-$\sqrt{3}$，得到点A（-$\sqrt{3}$，0），根据三角形的面积公式即可得到结论；
②解直角三角形得到∠CBO=60°，作直径ET交⊙I于点T，连接FT，则∠EFT=90°，得到EF=ET•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ET，当BD⊥AC时，此时直径BD最小，即直径ET最小，EF的值最小，推出∠CAO=45°，在Rt△ADB中，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答解：（1）在直线y=x+$\sqrt{3}$中，令x=0，则y=$\sqrt{3}$，
∴点C（0，$\sqrt{3}$），
把点B（1，0）与点C（0，$\sqrt{3}$）代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c，得：$\left\{\begin{array}{l}c=\sqrt{3}\\-\frac{{\sqrt{3}}}{3}+b+c=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}b=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；

（2）①连接OQ，在直线y=x+$\sqrt{3}$中，令y=0，则x=-$\sqrt{3}$，
∴点A（-$\sqrt{3}$，0），
∵S_△AQC=S_△AOQ+S_△OCQ-S_△AOC，
∴S=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}$（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$•（-t）-$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
∴S=-$\frac{1}{2}$t²-$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$t，即S=0$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{7+4\sqrt{3}}{8}$，（-3＜t＜0）．
∴当t=-$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$时，${S_{最大值}}=\frac{{7+4\sqrt{3}}}{8}$；
②∵点B（1，0），C（0，$\sqrt{3}$），∴OB=1，OC=$\sqrt{3}$，．
在Rt△BOC中，tan∠CBO=$\frac{OC}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠CBO=60°，
作直径ET交⊙I于点T，连接FT，则∠EFT=90°，
又∠FTE=∠CBO=60°，sin∠FTE=$\frac{EF}{ET}$，EF=ET•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ET，
当BD⊥AC时，此时直径BD最小，即直径ET最小，EF的值最小，
在Rt△AOC中，OA=OC=$\sqrt{3}$，
∴∠CAO=45°，
在Rt△ADB中，BD=AB•sin∠CAO=ABsin45°=|1-（-$\sqrt{3}$）|sin45°=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ET=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{4}$，
此时点Q的坐标为（$\sqrt{3}$-3，4-$\sqrt{3}$）．

点评本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和最大值，解直角三角形，三角形的面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．

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C．

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