Question

已知P（-3，m）和Q（1，m）是抛物线y=2x²+bx+1上的两点．
（1）求b的值；
（2）判断关于x的一元二次方程2x²+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；
（3）将抛物线y=2x²+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴的定义观察点P（-3，m）和Q（1，m）纵坐标相同，求出对称轴，从而求出b值；
（2）把b值代入一元二次方程，根据方程的判别式来判断方程是否有根；
（3）先将抛物线向上平移，在令y=0，得到一个新方程，此方程无根，令△＜0，解出k的范围，从而求出k的最小值．

解答：解：（1）∵点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，
∴P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．
∴抛物线对称轴x=-

b

4

=

-3+1

2

，
∴b=4．

（2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为2x²+4x+1=0．
∵△=b²-4ac=16-8=8＞0，
∴方程有实根，
∴x=

-b± 8

2a

=

-4±2 2

4

=-1±

2

2

；

（3）由题意将抛物线y=2x²+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，
∴设为y=2x²+4x+1+k，
∴方程2x²+4x+1+k=0没根，
∴△＜0，
∴16-8（1+k）＜0，
∴k＞1，
∵k是正整数，
∴k的最小值为2．

点评：此题主要考查一元二次方程与函数的关系及函数平移的知识．