Question

【题目】如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，

∵PM⊥AD，PN⊥AB，

∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，

∴四边形PMAN是矩形，

∵PM=PN，

∴四边形PMAN是正方形

（2）证明：∵四边形PMAN是正方形，

∴PM=PN，∠MPN=90°，

∵∠EPB=90°，

∴∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°，

∴∠MPE=∠NPB，

在△EPM和△BPN中，

，

∴△EPM≌△BPN（ASA），

∴EM=BN．

【解析】（1）由四边形ABCD是正方形，易得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，又由PM⊥AD，PN⊥AB，即可证得四边形PMAN是正方形；（2）由四边形PMAN是正方形，易证得△EPM≌△BPN，即可证得：EM=BN．