Question

12．如图，正方形ABCD的面积和周长分别为S（cm）和C（cm），若长方形ABCD满足$\frac{S}{C}$=m，$\frac{AD}{AB}$=n，则称“m，n为长方形ABCD的特征数”．如，当AB=4，AD=12，$\frac{S}{C}$=$\frac{4×12}{2（4+12）}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{AD}{AB}$=3，则长方形ABCD的特征数为“$\frac{3}{2}$，3”．
（1）当m=n=3时，求长方形ABCD的周长；
（2）用含m，n的代数式表示AB；
（2）若长方形ABCD的特征数m，n满足m²+n²-4m-2n-8=0，若m，n为正整数，求长方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）把m=n=3代入$\frac{S}{C}$=m，$\frac{AD}{AB}$=n，根据长方形的面积和周长的计算公式计算即可；
（2）根据长方形的面积和周长的计算公式进行计算；
（3）运用配方法把已知算式化为（m-2）²+（n-1）²=13的形式，根据题意确定m、n的值，代入计算即可．

解答 解：（1）∵n=3，
∴$\frac{AD}{AB}$=3，即AD=3AB，
∵m=3，即$\frac{S}{C}$=3，
∴AB×3AB=3×2（AB+3AB），
解得AB=8，
则长方形ABCD的周长为2（8+24）=64；
（2）∵$\frac{AD}{AB}$=n，
∴AD=nAB，
∴AB×nAB=m×2（AB+nAB），
解得AB=$\frac{2m（n+1）}{n}$；
（3）由m²+n²-4m-2n-8=0得，
（m-2）²+（n-1）²=13，
∵m，n为正整数，
∴m-2=2，n-1=3或m-2=3，n-1=2，
解得m=4，n=4或m=5，n=3，
当m=4，n=4时，
$\frac{AD}{AB}$=4，即AD=4AB，
∵m=4，即$\frac{S}{C}$=4，
∴AB×4AB=4×2（AB+4AB），
解得AB=10，
则AD=40，
则长方形ABCD的面积为400；
当m=5，n=3时，
$\frac{AD}{AB}$=3，即AD=3AB，
∵m=5，即$\frac{S}{C}$=5，
∴AB×3AB=5×2（AB+3AB），
解得AB=$\frac{40}{3}$，
则AD=40，
则长方形ABCD的面积为$\frac{1600}{3}$．

点评 本题考查的是正方形的面积和周长的计算，正确理解长方形ABCD的特征数是解题的关键，注意配方法的运用．